золотое сечение и числа Фибоначчи

Путешествие в плоскость

Учебное видео

Наш мир такой, каким мы его делаем сами

Использование многогранников в быту

Многоугольники и многогранники используются и в оформлении интерфейса

Футбольный мяч представляет собой многогранник с 32 гранями

Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

Большое количество многогранников используется в архитейтуре.

В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший обьем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи. Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Интересно, что пчелиные ячейки, которые также заполняют пространство без просветов, также являются в идеале геометрическими фигурами. Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра. Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии

Сфера

Сфе́ра — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы.

Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)

Уравнение сферы:
(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2, где (x0,y0,z0) — координаты центра сферы, R — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в начале координат:

, где 

Сфера является поверхностью шара. Площадь поверхности сферы 4πR2.

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом сферы. Большие круги являются геодезическими линиями на сфере.

n-мерная сфера

В общем случае уравнение n-мерной сферы (в евклидовом пространстве) имеет вид:

 , где (a1,...,an) — центр сферы, а r — радиус.

Пересечение двух n-мерных сфер — n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 n-мерных сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

Тела вращения в технике

Промышленное оборудование, Общие детали и узлы машин и механизмов, Валы и оси, Тела вращения (фланцы, шкивы, валы, втулки, блоки, маховики), Валы, Валы каландровые, Валы-шестерни цилиндрические,Валы коленчатые,Валы пневматические разжимные к станкам,Валы гибкие и арматура к ним,Валы насоса, Подшипники , Редукторы Детали и узлы общие для различных машин и механизмов, Фильтры.

Все сферы "сферы"

Попробуем здесь собрать все случаи использования корня "сфер", типа "атмосфера" и все устойчивые слово сочетания типа "сфера деятельности".

Оптические иллюзии

| View | Upload your own

Как строили Пирамиды.
Вопрос о том как строили пирамиды не даёт покоя уже ни одному поколению исследователей. Итак давайте ознакомимся с бытующими мнениям.
В вопросе строительства Пирамид , естественно, нельзя обойтись без свидетельства "отца истории" Геродота, посетившего Египет в 425-м году до рождества Христова.
"Используемый метод заключался в том, чтобы строить шагами, или как некоторые называют - рядами или террасами. Когда построение основы было закончено, блоки для следующего ряда выше основы поднимались от основного уровня приспособлениями, сделанными из коротких деревянных рычагов; на этом первом ряде имелось другое, которое поднимало блоки на один уровень выше, таким образом, шаг за шагом блоки поднимались всё выше и выше. Каждый ряд или уровень имел собственный набор механизмов одного и того же типа, которые легко перемещали грузы с уровня на уровень. Завершение построения пирамиды начиналось сверху с самого верхнего уровня, продолжалось вниз, и заканчивалось самыми нижними уровнями, находящимися ближе к земле"

• 
  
  Благодаря находке нескольких математических папирусов, египтологи узнали кое-что о древнеегипетских системах исчисления и мер. Содержавшиеся в них задачи решались писцами. Одним из самых известных является «Риндский математический папирус». Изучая эти задачки, египтологи узнали, как древние египтяне справлялись с различными количествами, возникавшими при вычислении мер веса, длины и объема, в которых часто использовались дроби, а также как они управлялись с углами


• 
  
  Древние египтяне использовали способ вычисления углов на основе отношения высоты к основанию прямоугольного треугольника. Они выражали любой угол на языке градиента. Градиент склона выражался отношением целого числа, называвшимся «секед». В книге «Математика во времена фараонов» Ричард Пиллинс объясняет: «Секед правильной пирамиды - это наклон любой из четырех треугольных граней к плоскости основания, измеряемый энным числом горизонтальных единиц на одну вертикальную единицу подъема. Таким образом, эта единица измерения эквивалентна нашему современному котангенсу угла наклона. Следовательно, египетское слово «секед» родственно нашему современному слову «градиент»».


• 
  
  Числовой ключ к пирамидам заключен в отношении их высоты к основанию. В практическом плане - это наилегчайший способ изготовления шаблонов, необходимых для постоянной проверки правильности угла наклона на протяжении всего строительства пирамиды


• 
  
  Отношения высоты к основанию, использованные в пирамидах Гизы, несомненно, были известны древним египтянам. Возможно, что эти отношения для каждой пирамиды были выбраны произвольно. Однако это противоречит тому значению, которое придавалось числовому символизму во всех видах египетского изобразительного искусства. Весьма вероятно, что такие отношения имели существенное значение, поскольку выражали конкретные религиозные идеи. Иными словами, весь комплекс Гизы подчинялся связному замыслу, призванному отобразить некую божественную тему. Это объяснило бы, почему проектировщики выбрали разные углы наклона трех пирамид.


• 
  
  Таким образом, пирамиды представляют для нас интерес не только как исторические объекты, исследуемые историками, археологами, математиками и астрономами, но и как уникальные сооружения, которые можно использовать в практической медицине. Сейчас активно изучаются возможности Великой пирамиды, энергия ее формы. Уже существуют миниатюрные прототипы этих гигантских сооружений, энергию которых ученые пытаются использовать во благо и для здоровья человека

Загадки пирамид

Загадки Египетских Пирамид

Филон называл среди чудес света "пирамиды у Мемфиса", большинство авторов - пирамиды "вообще", некоторые - три пирамиды в Гизэ, а самые придирчивые считают чудом света только Большую пирамиду Хеопса.


Самая древняя пирамида - пирамида фараона Джосера - была воздвигнута около пяти тысяч лет назад. Ее строитель Имхотеп был архитектором, врачом, астрономом, писателем, советником фараона, на протяжении многих веков считался величайшим мудрецом древности, магом и волшебником, а в поздние времена он был обожествлен, в его честь сооружались храмы и возводились статуи.

Место, выбранное Имхотепом для строительства комплекса пирамиды Джосера, находится на краю плоскогорья, откуда открывался прекрасный вид на Мемфис. Комплекс занимал прямоугольную площадку (545х278 метров). Его окружала стена из белого известняка высотой в десять метров. Стена была усилена башнями и разделена плоскими выступами, в ней было четырнадцать ворот, настоящими были только одни. Если смотреть на ворота изнутри комплекса, то казалось, что все они открыты.

Сама пирамида находилась в середине комплекса, высота ее - 60 метров, основание со сторонами 118х140 метров. Строительные работы на отдельных этапах велись по-разному: сначала использовались камни небольшого размера, потом размер каменных блоков постепенно возрастал. На заключительном этапе строительства пирамиду облицевали блоками белого известняка. Погребальная камера находилась под пирамидой на глубине 28 метров. Ее стены были покрыты плитами розового гранита. К камере вели шахта и коридоры со множеством боковых ходов и ответвлений.

Пирамида Джосера была ступенчатой, имела форму лестницы, по которой фараоны якобы восходили на небо. Значение комплекса пирамиды Джосера состоит главным образом в том, что это первая в Египте монументальная каменная постройка. Имхотеп изготовил из камня те элементы и части зданий, которые до него делались из кирпича и других материалов.

В религии древних египтян решающее значение имели их представления о загробной жизни.

По первоначальным представлениям право существовать в за-гробном мире имел только фараон. Фараон мог одарить бессмертием членов своей семьи, царских вельмож. Это означало, что они могли быть похоронены рядом с пирамидой или гробницей повелителя. Обычный человек не имел права на бессмертие и не мог попасть в потусторонний мир. Такое право имели только те рабы и слуги, которые были изображены на стенах гробницы: считалось, что фараон забирает их с собой.

В потустороннем мире, заселенном умершими, может существовать лишь тот, кого снабдили в этом мире всем необходимым для загробного существования. Но прежде всего нужно было сохранить невредимым тело - обезопасить его от всяких посторонних воздействий.

Эти представления и породили два следствия: бальзамирование трупов и постройку гробниц, напоминавших скорее крепости. Каждая пирамида должна была служить защитой для запрятанной в ней мумии.

Постройка даже средней пирамиды была непростым делом. Приходилось посылать целые экспедиции, чтобы доставить на плато Гизэ или плато Саккара гранитные и алебастровые блоки. С начала Нового царства фараонов стали хоронить в Долине царей к западу от Фив, где образовался новый некрополь.

Всего пирамид насчитывается около семидесяти, а может, и около восьмидесяти. Совсем недавно, в 1952 году, египетский археолог Мохаммед Закария Гонейм открыл еще одну не известную доселе пирамиду в Саккара, в двадцати километрах от Каира!Самые знаменитые - три большие пирамиды близ Гизэ: Хеопса (Хуфу), Хефрена (Хафра) и Мекерина (Менкаура). Крупнейшая из них, пирамида Хеопса, сооружена в XXVIII веке до н. э.

На основании своих египетских впечатлений Геродот так рассказывает о строительстве этой пирамиды: "Хеопс заставил работать на себя весь египетский народ, разделив его на две части. Первым он приказал заняться доставкой к берегу Нила блоков из каменоломен в аравийских горах. Другие занимались их дальнейшей транспортировкой к подножию ливийских гор. Постоянно работали 100 000 человек, они сменяли друг друга каждые три месяца. За десять лет напряженного труда была построена дорога, по которой блоки доставляли к реке. По мнению Геродота, строительство этой дороги было не менее трудной задачей, чем постройка самой пирамиды. Дорога была выложена отшлифованными каменными плитами, украшенными резьбой. Закончились строительные работы вокруг пирамиды, завершилось строительство подземных сооружений, которые предназначались для гробницы и погребальной камеры фараона. Строительство же самой пирамиды продолжалось еще двадцать лет."Первоначально её высота составляла 146,6 метра, однако из-за того, что сейчас отсутствует облицовка пирамиды, её высота к настоящему времени уменьшилась до 138,8 м. Сейчас на ее вершине площадка, на которой во время второй мировой войны располагался английский пост противоздушной обороны. Каждая сторона квадратного основания пирамиды составляет 233 метра, площадь ее более 50 000 квадратных метров.

Пирамида состоит из 2 300 000 кубических блоков известняка с гладко отшлифованными сторонами. По подсчетам Наполеона, каменных блоков от трех пирамид в Гизэ хватило бы, чтобы опоясать всю Францию стеной высотой в 3 метра и толщиной в 30 сантиметров. Каждый блок весит в среднем 2,5 тонны, а самый тяжелый - 15 тонн, общий вес пирамиды - 5,7 млн тонн.

Исследователи, пытавшиеся выяснить, каким образом древние строители смогли воздвигнуть такое грандиозное сооружение и придать ему геометрически правильную форму, просто становились в тупик. Иногда даже высказывалось мнение, что пирамиды не мог построить народ, живший в бронзовом веке, и в создании этих колоссальных сооружений принимали участие... инопланетяне.

Пирамиды были построены при помощи мускульной силы. На правом берегу Нила, в каменоломнях вблизи Мемфиса, тысячи людей были заняты добычей известняка.

Чтобы поднять блоки, египтяне строили из кирпича и камня наклонную насыпь под углом подъема 15о. По мере сооружения пирамиды насыпь удлиняли. Когда строительство в основном заканчивалось, наклонную насыпь разравнивали, а поверхность пирамиды закрывали облицованными блоками.

Качество работы этих строителей, живших сорок семь столетий назад, было таково, что несовпадения горизонтальных и вертикальных линий пирамиды не превышают ширину большого пальца. Камни настолько плотно пригонялись один к другому, что между ними нельзя просунуть даже иголку.

Большую пирамиду Хеопса нередко называли Библией в камне. На рассвете, когда ее вершина еще тонет в тумане, пирамида кажется розовато-персиковой, в те редкие минуты, когда горизонт затянут облаками, - серовато-черной, а при холодном свете луны она напоминает заснеженную горную вершину.

Пирамида Хеопса, может быть, самое грандиозное сооружение на земле. Даже во времена наибольшей славы и величия любого из европейских монархов у него не было такого дворца, который сравнился бы размером с гробницей этого фараона. Меньше ее и Букингемский дворец в Лондоне, и Версаль во Франции, и Зимний дворец в Санкт-Петербурге, и даже Эскориал в Испании.

P.S По некоторым исследованиям пирамидам в Гизе около 50 тыс. лет. Они основываются на след. фактах: лев что возле пирамиды подвержен был эрозии, т.е. разрушению от действия воды. Последнее сильное наводнение было 50 тыс лет назад. Далее.
Пирамида Хеопса эта целая астрономическая абсерватория, шахты кот. в ней нах-ся и выходят наружу точно направлены на опр. звезды. Также само расположение пирамид - это созвездие ориона спроэцированное на земле.
Лев что возле пирамиды смотрит в направлении восхода созвездия льва, имхо это было 50 тыс. лет назад.

Загадки пирамид.

Сюда товарищи, кидаем ссылки домашнего задания :)
И потом нендо говорить что вы не видели или то, что вам не интересно :)
http://www.sunhome.ru/journal/12093

Тут написано о китайских пирамидах :)

Математический памфлет. :)))

С удивлением обнаружил только что, что некий мнящий себя преизрядным математиком Л. О'Бачевски счел аксиому параллельности произвольным, по его дурацкому мнению, ограничением. С точки зрения этого идиота, данное требование слишком жесткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. И тут же с радостным щенячьим повизгиванием подняли его на щит всякие Пойяи, Кауссы и Лиманы. Что такое радиус кривизны пространства? Мозги у них кривые! А все оттого, что названные псевдоученые не освоили классику, или же усвоили ее недостаточно, иначе эти кретины знали бы, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную. Жаль, что этот паранаучный мэйнстрим "неевклидовых геометрий" отвлек на себя далеко не худшие умы, и это в то время, когда остаются не разрешенными такие поистине судьбоносные проблемы, как квадратура круга, трисекция угла или удвоение куба.
Читайте "Начала" Евклида, и будет вам щастье!!! ;)
Источник информации
Стихотворная версия рецензии М.Остроградского на работу Н.Лобачевского:
""Много ли, мало - два интеграла -
Всё, что я понял, читая "Начала".
Один не нов, другой - неверен,
Язык работы ужасно скверен! ...""

Вселенная как система многогранников.

Правильные многогранники также называют платоновыми телами, хотя они были известны еще за несколько веков до Платона. В одном из своих диалогов Платон связал правильные многоугольники с четырьмя стихиями. Тетраэдру соответствовал огонь, кубу – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода. Додекаэдру соответствовала пятая стихия – эфир.
В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связать правильные многогранники со строением Вселенной. С большей или меньшей точностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую. Но имя Кеплера в геометрии прославило открытие двух из четырех правильных звездных тел. Два других в 1809 г. нашел француз Луи Пуансо.

(с) http://in1.com.ua/article/21591/

Не грозит ли нам судьба Пизанской башни

Как проверить что угол школы перпендикулярен земле?

Небольшое техническое отступление

Судя по Вашим последним действиям, нужен урок русского языка.
Задание было: отправлять сообщения, а большинство в теме правильные многоугольники оставляют комментарии. Вставить в комментарий ссылку или картинку сложнее, чем в сообщение. Для этого надо самому писать код.
Чтобы отправить сообщение, найдите (после входа в блог) в меню "Новое сообщение", а уже в открышемся диалоговом окне я надеюсь не составит труда отыскать и нужную кнопку вставки ссылок и картинок.
Если проблемы отправки сообщения остаются, то пишите в комментарии.
И еще: не нужно повторяться. Если до вас уже была информация, зачем ее дублировать, да еще не указывая источник?

Правильный многогранник

Правильный многогранник, или Платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:
- он выпуклый
- все его грани являются равными правильными многоугольниками
- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней
- все его двухгранные углы равны

1. В четырехмерном пространстве всего существует 6 правильных многогранников
2. Во всех пространствах размерности более 4 — существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр и n-мерный куб.

История
Правильные многогранники названы по имени Платона, который в сочинении «Тимей» (IV век до н. э.) придавал им мистический смысл, но были известны и до Платона.
Кеплер пытался построить модель Солнечной системы вписывая и описывая правильные многогранники в сферы. Это удалось ему не полностью, но послужило толчком к разработке Законов Кеплера.

А также:
Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

(i) все его грани – конгруэнтные правильные многоугольники;

(ii) к каждой вершине примыкает одно и то же число граней.

Если все грани – правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.

Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются «правильными звездчатыми многогранниками». Так как мы условились такие многогранники не рассматривать, то под правильными многогранниками мы будем понимать исключительно выпуклые правильные многогранники.

TTT (презентация)

Проверь себя

ТТТ или теорема о трех перпендикулярах

Сравните формулировку это теоремы в нашем учебнике с российским вариантом.
Можно посмотреть здесь:
Теорема о трех перпендикулярах

Какая формулировка вам кажется проще? Равносильны ли два варианта: эстонского учебника и российского?

Задание на неделю

К сожалению. болезнь мешает нам встретиться сразу после каникул. Надеюсь, что вы сможете справиться самостоятельно со следующим заданием:
п. 2.4-2.7 - конспект.
Номера: 175, 179, 180, 183, 192, 193, 212, 213, 214, 239, 240, 241.
п. 2.8-2.9 - только определения.
Дополнительно теорию можно найти здесь:
Раздел третий: Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Если появятся вопросы - задавайте в коментариях.